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標題: 關于極限和連續(xù)的兩個數(shù)學問題 [打印本頁]

作者: 鬼魅道長 時間: 2011-4-20 18:50
標題: 關于極限和連續(xù)的兩個數(shù)學問題
今天一哥們聊天時說起，很有趣，大家也來試試：

1.青蛙跳井：
一個青蛙在井底，想要跳出去，假設永遠不會向下滑，它每次跳高的距離都是上一次的一半，而且每跳一次都要休息一秒鐘，那么青蛙能不能跳出井？

2.阿基琉斯追不上烏龜：
芝諾說，如果阿基琉斯落在烏龜后面，同時起動，那么會出現(xiàn)這樣的情況：假設初始時，阿基琉斯在A點，烏龜在B1點，經過了t1的時間，阿基琉斯到達了B1，但同樣的，烏龜用t1的時間到達了B2，而當阿基琉斯用t2的時間到達了B2時，烏龜又用t2的時間到達了B3，而阿基琉斯到達B3時，烏龜又到了B4，如此往復，那么阿基琉斯就永遠追不上烏龜。

對第一個問題，所有的人都說“永遠跳不出去”，而對第二個問題，則說“肯定追得上，因為事實就是這樣”。

于是那哥們問，為什么兩個類似的問題，答案不一樣？數(shù)學依據(jù)是什么？

最后大家還是用數(shù)學模型把這個事了了，不過過程實在很有趣，社友們也來試試吧。

作者: 閑人一個OO 時間: 2011-4-20 20:09
第二個問題我上馬克思時老師拿來當例子講的，這個問題邏輯上很難搞定的

作者: 高進 時間: 2011-4-20 20:37
這個問題我也想過，為什么呢追不上呢？我想是由于這個時間永遠不能過度到下一秒，越來越小

作者: 無能 時間: 2011-4-20 20:48
本帖最后由無能于 2011-4-20 21:47 編輯

回復長驅鬼魅的帖子

第一條敝人看錯了，答案請見下面有大俠給出。
第二個問題本身就沒有描述清楚。一般來說，如果能把問題很清楚的描述出來，那么答案基本上就出來了。
我認為，芝諾悖論是在描述上首先就把人弄糊涂了，如果換一種描述，就不會出現(xiàn)悖論，因為悖論首先就已經確定是錯誤的了，只是因為描述上弄了手法才讓人看似正確。
沒想到兄弟有雅興鉆研微積分的基礎問題，佩服！

作者: jsj306 時間: 2011-4-20 21:05
本帖最后由 jsj306 于 2011-4-20 21:07 編輯

第二種情況僅僅是計算上趨于無窮，實際上阿克琉斯不會按芝諾的算法來跑，一步兩步就跨出去了，芝諾的算法僅僅是對這一步兩步（或者這一步兩步所用的時間）做細分，這就涉及到距離或時間是否無限可分的問題了

第一種情況就是按芝諾的算法來跑了，他算一步，青蛙就跳一步，按他這個算法永遠算不完，那青蛙也就永遠跳不出去

作者: 螺旋線 時間: 2011-4-20 21:10
那1和0.9999999999999999999999..............是否相等呢？

作者: 無能 時間: 2011-4-20 21:24
回復 jsj306 的帖子

這是“潛無窮”論者與“實無窮”論者的爭論。
潛無窮論者認為，世界上沒有真正無窮的東西，所謂的無窮不過是描述一步接一步的動作，這個動作永遠在進行中，永遠沒有終止。
但實無窮論者認為，無窮是存在的，存在著“一下子就完成”的無窮，而非像前者那樣的永遠無法完成。

能體現(xiàn)這兩個無窮爭論的例子是：你從點0到點1，無論如何你要經過它們的中點，就是0.5；而你要到達0.5，也必須先到達它們的中點即0.25……如此進行下去，由于這些中點是無窮的，所以你永遠無法從0點到達1點。
實際這就是區(qū)間(0,1)的稠密性，也就是敝貼曾經提到過的，這個區(qū)間是連續(xù)統(tǒng)的精髓。

你永遠無法從點0到達點1，是潛無窮論者的論點，但是我們明明可以一步就從0到1，所以實無窮是存在的，證畢。
集合論是承認“實無窮”的存在的。

根據(jù)我的研究發(fā)現(xiàn)，“實無窮”的論點直接就導致“不可知論”。

作者: metalstorm 時間: 2011-4-20 21:35
本帖最后由 metalstorm 于 2011-4-20 21:41 編輯

問題一：青蛙是跳不出井的，只能無限接近一個極限高度，這個極限高度等于第一跳的距離乘以如下等比數(shù)列的求和極限。
[attach]210742[/attach]
問題二：阿基琉斯只能無限接近烏龜，但永遠追不上，阿基琉斯的速度一直在變慢。請教樓主這個數(shù)學模型是什么？

作者: 無能 時間: 2011-4-20 22:29
回復 metalstorm 的帖子

[attach]210748[/attach]

第二題，我讀題發(fā)現(xiàn)龜兔是各跑各的，并且并未說明B3一定在B4后面。不知道原題是不是想說兔子每次都要跑到二者距離的中點。

作者: 無能 時間: 2011-4-20 22:48
本帖最后由無能于 2011-4-20 22:50 編輯

回復螺旋線的帖子

看來以己昏昏，還是不能使人昭昭啊，哈哈哈…
只能說 1 是無窮序列 0.9' 的極限，即 n->∞ 時 lim (1-1/10^n) = 1。
0.9' 無限趨近于 1，但它不等于 1。
歡迎繼續(xù)提出異議。

作者: 螺旋線 時間: 2011-4-20 22:54
還是不要討論這種問題吧。
數(shù)學這東西，學不來，知道結果和懂是兩回事。
作為工程師，需要的就是知道。

作者: 未完不續(xù) 時間: 2011-4-20 23:49
本帖最后由未完不續(xù) 于 2011-4-20 23:50 編輯

第一個問題：要想蛙跳不出去，前提條件是井要足夠深，大于等于蛙單次跳躍高度的2倍。
第二個問題：以A點為原點

T1= B1/Va

T2= (B2-B1)/Va = Vg*T1/Va = Vg*B1/Va^2

T3= (B3-B2)/Va = Vg*T2/Va  = Vg^2*B1/Va^3

……….

Tn=(Bn-Bn-1)/ Va  =    Vg^(n-1)*B1/Va^n    =    B1 * ( Vg/Va)^n/ Vg

   當Vg/Va<1時，( Vg/Va)^n→0, Tn→0,說明阿喀琉斯能追上烏龜。

作者: 風追云 時間: 2011-4-21 09:04
這兩個問題是名副其實的“長驅鬼魅”問題。哈哈。

作者: 掃街 時間: 2011-4-21 09:10
1除以0等于神馬

作者: andyany 時間: 2011-4-21 09:18
數(shù)學如果不和物理結合，就是奇技淫巧。

作者: fmdd 時間: 2011-4-21 09:27
第一個：無限等比數(shù)列求和Sn=a1/(1-q)
a1=1/2 q=1/2 Sn=1
說明青蛙是能跳出井的，只是在它有生之年沒法完成，拋棄理論不說，從事實上來考慮，青蛙的前腳已經出了井口，后腿雖然還在井里，它可以爬出去，不用再花無窮多的時間繼續(xù)跳了

第二個：這個是哲學上的詭辯，運動具有瞬時性，也具有連續(xù)性，哲學老師說，任何運動方面的詭辯，都是割裂了運動的兩個特征。在這個題目里，運動只表現(xiàn)出瞬時性，所有的分析點都是一個片段。這個問題需要有比物理學和數(shù)學更高層次的哲學理論來解釋，那些研究宇宙的本源、人生的意義的極端聰明的家伙，才能給你揭示出這個問題背后的本質。

作者: 鬼魅道長 時間: 2011-4-21 09:52
本帖最后由長驅鬼魅于 2011-4-21 09:52 編輯

這兩個問題，必須計算“重心”，即沒有實體的點，不然，就會出現(xiàn)樓上說的，前腿出井，后腿留在井里的事情。

可以先分別提出假設以建立數(shù)學模型：

1.青蛙第一次能跳到井的一半，而且1/2^n次跳的時候，所耗費時間也是1/2^n秒，那么當它跳到第n次的時候，與井口的距離差為1/2^n。
2.阿基琉斯時速為1m/s，烏龜為0.5m/s，兩者相隔1m，所以第一次經過1s，距離差為1/2，第二次經過1/2s，距離差為1/4，不斷往復，則第n次，距離差為1/2^n。

那么可以得出，兩個的距離數(shù)列是基本一樣的：即1、1/2、1/4、……、1/2^n。

但是得到的結論卻是兩個答案。

作者: kongping 時間: 2011-4-21 10:24
本帖最后由 kongping 于 2011-4-21 10:31 編輯

第一個問題：先決條件是要看井口的高度和青蛙第一次跳躍的高度，青蛙有可能跳出或有可能跳不出。不能一概而論。
第二個問題：先決條件是誰的速度快，如果阿基琉斯的速度大于烏龜?shù)乃俣龋前⒒鹚挂欢〞飞蠟觚敚皇菚r間問題。如果速度小于或等于的話就不用說了。

作者: luyupei 時間: 2011-4-21 11:54
第一個問題是距離的極限，所以跳不上去。第二個問題是時刻的極限，過了那個時刻就超過了。

作者: 鬼魅道長 時間: 2011-4-21 17:47

長驅鬼魅發(fā)表于 2011-4-21 09:52
2 Z% b9 X4 a8 E這兩個問題，必須計算“重心”，即沒有實體的點，不然，就會出現(xiàn)樓上說的，前腿出井，后腿留在井里的事情。 ...

剛才打了一大段字，想不到網(wǎng)絡出問題，一下變成未登錄狀態(tài)，辛苦白費了……555

其實距離數(shù)列已經說明白了，是完全一樣的，之所以答案不同，是因為縮短距離而花費的時間的關系。

1.青蛙第一次跳，花費時間1/2s，由于中途會停歇1s，所以第二次花費1+1/4s，第n次則為1+1/2^n s，那么花費的時間數(shù)列為：

1/2、1+1/4、……、1+1/2^n，n無窮大，則消耗時間的總數(shù)也是無窮大，青蛙永遠也跳不出去。

2.第一次縮短距離，花費時間1/2s，第二次花費時間1/4s，第n次花費時間1/2^n s，那么花費的時間數(shù)列為：

1/2、1/4、……、1/2^n，n無窮大，則消耗時間的總數(shù)是1s，根據(jù)前述假設，在速度為1s/m，相差距離為1m的情況下，在1s的花費時間終結之時，阿基琉斯與烏龜就站在同一位置了，而下一個t時間，無論有多么小，由于速度上的優(yōu)勢，他必然會超過烏龜。

對比一下，就發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)列的差距就在“每次停歇1s”這個地方，換句話說，如果阿基琉斯每次都要休息，那么他也永遠追不上烏龜。

之所以想起來把這個問題發(fā)上來，就是想說一下昨天討論的結果，那就是，追趕別人是不能停的，如果天朝每次追趕米國都要停歇，那么，即使發(fā)展速度比人家快一倍，也將永遠追不上。

作者: 春播 時間: 2011-4-22 09:25
那我在來補充一個問題：
“一尺之棰，日取其半，萬世不絕”？

作者: 鬼魅道長 時間: 2011-4-22 10:58

春播發(fā)表于 2011-4-22 09:25
. j0 }- y) e' C3 j; ]那我在來補充一個問題：
* X9 V; ] |- b# t% W9 _2 h5 ~5 z0 D“一尺之棰，日取其半，萬世不絕”？

這是必然的，因為日取其半的原因，如果一直不停地取，取完的時間就是速度問題了。

作者: oscar30000 時間: 2011-7-5 13:55
回復無能的帖子

數(shù)學本來就是人類總結出來的規(guī)律而已，既然是規(guī)律那必然有局限性，就不能解決一切的問題。

作者: oscar30000 時間: 2011-7-5 14:03
回復長驅鬼魅的帖子

2000年高考的時候我就是寫的這個故事，居然得了50分（總分60），哈哈哈。

您所說的第一個問題是數(shù)學的局限之一，第二個問題，交代的不詳細，如果間距無窮大呢，那肯定追不上，間距為有窮時，那追上肯定不是問題（物理的角度），這也是數(shù)學的局限之一。

事實上，沒有人能夠制定一個完美無缺的規(guī)律，如果我們在規(guī)律中找完美，那就是自找煩惱。

作者: hisun_cth 時間: 2011-7-5 15:43
本帖最后由 hisun_cth 于 2011-7-5 15:48 編輯

回復 metalstorm 的帖子

你那個等比數(shù)列的和等于2，只要第一跳大于等于井深的一半，就能跳出！比如：井深4米！第一跳3米，第二跳1.5米！出來了！

作者: 貓王001 時間: 2012-6-4 17:33
第一個問題是個截杖問題，在高數(shù)上好像有這個例子

作者: Pascal 時間: 2014-7-6 21:30
無意中發(fā)現(xiàn)這個帖子。
談談第二個問題。

芝諾在關鍵詞“追”上偷換了概念。
所謂追不上應該是指任意時刻t，阿基里斯都在龜?shù)暮竺妫欢ブZ卻偷換為在無窮多時刻t，阿基里斯在龜?shù)暮竺妗＿@正是問題的癥結。

作者: 伯爵的等6 時間: 2014-7-7 16:50
關于第一個問題，我有個想法。假如兔子第一下就跳的距離就大于井高，就沒有以后了嗎？

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