凸面和均質(zhì)是GOMBOC (字母O上面有來(lái)年各個(gè)小點(diǎn)哦)的主要特性。
不倒翁是非均質(zhì)物體擁有GOMBOC一樣行為的簡(jiǎn)單例子。
同樣，因?yàn)榘济骟w不能通過表面圓周滾動(dòng)，也很容易創(chuàng)造出GOMBOC均質(zhì)凹面體. E; a; N- ?0 l% Y! E/ E
凹面GOMBOC平面圖.
只擁有唯一一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)的形狀稱作單靜態(tài)體，同時(shí)擁有另外一個(gè)非穩(wěn)定平衡點(diǎn)的稱為單一單靜態(tài)體。
GOMBOC是第一個(gè)凸面均質(zhì)單一單靜態(tài)體。 7 \% L1 s# J% |1 e' {7 {" M% m |
* H7 S% L$ [& K, R1 o, S, x- _5 [
平面GOMBOC
由于物體重心(G)作用，平面凸形在極坐標(biāo)系中規(guī)定為函數(shù)R(a)。
在水平面上，所有物體都朝著重心降低的方向滾動(dòng)。 R隨著地面降低而變小。 ! D9 `5 j; @! v; K9 U& H
/ `! v9 P( U. }% S& o8 a! o# c$ ~: N. C. ]
當(dāng)dR/da = 0時(shí)出現(xiàn)平衡點(diǎn)。R (d2R/da2 > 0)為最小值時(shí)，是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，當(dāng)R（(d2R/da2 < 0)為最大值時(shí)，是非穩(wěn)定平衡點(diǎn)。R最小值后出現(xiàn)轉(zhuǎn)而最大值，反之亦然。因此，出現(xiàn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)和非穩(wěn)定平衡點(diǎn)次數(shù)相當(dāng)。另外，下面原理也可以被證明：
; o9 F4 _# ?# v+ [ z, R7 K
9 l: _0 m. b6 f$ S. K* E2 @
原理 1:
所有平面凸均質(zhì)體至少有2個(gè)穩(wěn)定和2個(gè)非穩(wěn)定平衡點(diǎn)。1 g; u. i$ d u+ T) ?1 l: B6 v' O* {0 D
如果物體只有一個(gè)平衡點(diǎn)，相應(yīng)函數(shù)R(a)圖就只能有一個(gè)最大值和最小值。 ( j" q/ K0 {" r. b. c
用直線 R = R0 將物體分成兩部分，函數(shù) R > R0 和 R < R0 具有相等（(長(zhǎng)度 p)水平投影。 + D1 r3 A2 f; C6 t1 k' T
5 l k: R$ Z/ q. r) R: ]! X
相當(dāng)于穿過重心G的直線相應(yīng)把物體切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)兩部分，
支撐面沿著直線。 \' x$ |' E3 b2 [
但是達(dá)到平衡的條件是G點(diǎn)不在直線上，應(yīng)該在厚點(diǎn)的這半部分，這與之前所述G點(diǎn)在直線上相矛盾，由此得出原理1正確。 ! h* n! v) t) j
( g" O7 Z6 N, ?( P/ u5 r- n
編號(hào)為 R(a)的函數(shù)圖（右）以及相對(duì)應(yīng)的物體（左）
正如我們所證明的，不存在平面的GOMBOC型物體。這個(gè)令人驚訝的簡(jiǎn)單事實(shí)是典型數(shù)學(xué)原理的物理模擬：
0 w( X2 @! Q! u1 p四頂點(diǎn)定理:: 一條簡(jiǎn)單封閉曲線曲率至少有四個(gè)局部極值
; u" O' k# Z9 W: B+ X6 \
6 u" G. W. S; j- a
有關(guān)四頂點(diǎn)定理有眾多的概括和相關(guān)幾何定理，有時(shí)這些統(tǒng)稱為四頂點(diǎn)定理。
如果不存在三維GOMBOC，這個(gè)事實(shí)將成為四頂點(diǎn)定理家族中的又一新成員。
( _* l) j' `$ v/ _
有關(guān)GOMBOC的基本概念
類似于平面物體，三維體可以定義為重心作用下球坐標(biāo)系中的函數(shù)R(j,q)
三維體在球面坐標(biāo)系中的定義
1 O) B. Y! Y. H! B
: o8 T$ @7 T; p2 [7 k) y1 h1 O) B. Y! Y. H! B
區(qū)域最小值和最大值R對(duì)應(yīng)穩(wěn)定平衡點(diǎn)和非穩(wěn)定平衡點(diǎn)，物體在R的鞍部還有另外一個(gè)平衡點(diǎn)。
根據(jù)龐加萊-霍普夫（Poincaré-Hopf）理論，球體內(nèi)所有同型物體，在這三種情況下，平衡值（由s, u, t,分別代表）都滿足s + u - t = 2。定理1的三種假定情況： ) C6 ~- Z$ q% Z. N
- ) S/ M5 u& `$ c' g3 [0 {8 y: ]
- a) s > 1,
- b) u > 1,
- c) s + u> 2,
) A( c: z7 Q; F& B7 l9 m
a) 和 b)很容易被駁倒
s = t = 1, u = 2時(shí)，s > 1為否， # ?+ m% t( t9 v; B
4 b0 w3 i4 _, U8 |7 C7 r) ~- a( I
& w, C2 p0 U$ e y* F8 k
i > 1 時(shí) u = t = 1, s = 2
% \0 J1 m) H" }3 x5 P
$ u! D- T. v8 Y( N, N- C
第三種情況可能性存在于Gömböc本身：是否存在三維凸面均質(zhì)s = u =1（t=0）的物體？5 ^* X" Q- ]* w
我們可以進(jìn)一步延伸平面理論來(lái)證明這種物體存在的不可能性。
假設(shè)存在這種形狀物體，對(duì)應(yīng)函數(shù)R(j,q)就只能有一個(gè)最小值和一個(gè)最大值。
平面物體用R = R0分割成薄厚相同尺寸的兩部分（以重心點(diǎn)G作為分割，兩部分的空間角度相同）。3 J; X N8 f! N: d; S" e6 I; X/ p6 }
如果切割的線條是平面曲線（如：圓），則得出類似二維體的矛盾。0 ?" C- g3 r) B& z8 c5 Y6 w
如果是空間曲線，則是類似網(wǎng)球的曲線。
物體分割成上下厚薄兩部分，無(wú)法證明G點(diǎn)一定在上半部分。
由此得出平面理論并不適用于三維體。
6 p+ O1 m: U$ x9 J4 e: r, J5 o
, ?1 K: u5 r g
分割單一單靜態(tài)體厚（黃色）薄（綠色）兩部分的直線是有可能，但并不一定在一個(gè)平面上。
論證的失敗為GOMBOC的空間形狀提供了新的想法。
運(yùn)用雙參數(shù)閉合公式，可以分析出適當(dāng)參數(shù)值得出s = u = 1物體。* ]5 a4 K k$ g4 f. }
受凸面體限制，構(gòu)造出的物體近似于球體。
構(gòu)造出的形狀可以從理論推斷出存在GOMBOC可能性，但是否具有單一單靜態(tài)體（從視覺上可以明顯看出）特性仍然是個(gè)疑問。
9 @) W4 q* F4 u8 c8 q3 l6 E4 ~
% s t, K. q4 M2 z' z$ d2 m
1 @! `" q( v f/ e
應(yīng)用于論證的雙參數(shù)物體圖形
應(yīng)用于論證的雙參數(shù)物體圖形
7 U# \9 A& w5 d5 c0 I7 s: ?. \+ Y
“真正的"GOMBOC
4 C" ~) Q$ c: ~( b% A2 ^
通過理論論證為什么不能找到一個(gè)具有特殊形狀的物體？
是因?yàn)檎撟C公式不好還是因?yàn)槭”澈箅[藏著更深層的原因？) X- j R5 q5 C8 d, {: A, V7 q
GOMBOC具有類似球體的形狀，但在羅得島上2000多個(gè)卵石中也沒能找到這種形狀，這種形狀如果離球體“很遠(yuǎn)"就不可能是s = i = 1。盡管尋找這種物體很困難，但是通過另一種途徑卻可以構(gòu)造出GOMBOC的形狀。以下的圖示是基于網(wǎng)球的理念。它表面由簡(jiǎn)單圖形組成（圓柱，橢圓形，錐形）和平面。顯而易見，這種形狀屬于凸面體。通過數(shù)值積分算出其重心應(yīng)稍低于原先的位置，通過這些事實(shí)，我們可以簡(jiǎn)單判斷出這個(gè)形狀屬于單一單靜態(tài)體。當(dāng)然，無(wú)數(shù)的形狀都可以有這些特性，而以下圖形只是其中的一種。構(gòu)造出來(lái)的GOMBOC樣品略有不同：它由很多圖塊組成，這使得穩(wěn)定平衡特性更健全，滾動(dòng)物體的力學(xué)表現(xiàn)更加直觀。
! Q1 ~( i( @6 j$ n; D2 \/ a
. ?4 C# G& O9 f) ^
簡(jiǎn)單的圖塊拼接到一起構(gòu)成GOMBOC% [4 ?5 O; r+ u
6 S9 l/ ~$ K& v% K
/ L% \3 [& B5 g! a4 k: {! v
在R=穩(wěn)定的情況下，GOMBOC的輪廓線能明顯具有網(wǎng)球形狀