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標題: 請教一四點支撐平臺各支點承重量計算的問題 [打印本頁]
作者: easylife 時間: 2009-9-28 15:22
標題: 請教一四點支撐平臺各支點承重量計算的問題
如下面的俯視圖，; C3 Q+ c& W* {4 J
( J2 b5 } d! B4 T% I- ?/ x/ H
平臺為一剛性水平臺，由彈性支撐件P1,P2,P3,P4支撐。工作臺重心為圖中W點。總質量為W. t5 ~" A! Y) U
幾何尺寸如圖中所示.0 U# S6 Z+ x1 |; J8 i
請問怎樣計算各個支撐件P1,P2,P3,P4的受力大小？
& ?+ X1 X% \) h8 d2 \/ b
: z0 {& }! M- }. U) I[attach]148123[/attach]
作者: 李贛 時間: 2009-9-28 15:51
1、受力. M C* b8 c) S! I5 a7 r) q" _
2、力矩 x9 A8 C5 a# k. k x5 W1 U
平衡
作者: easylife 時間: 2009-9-28 15:55
1、受力
1 B2 j8 f A* e' a5 _" u$ [2、力矩# |4 a4 u3 H& W/ v) C5 N; t
平衡
$ v1 R/ D+ s# ?# n" xlit_hiker 發表于 2009-9-28 15:51 
, M+ `5 l9 q( C3 y8 g7 b
3 Y0 T5 u6 W$ M& N$ w5 O, w不知道怎么建立力矩平衡方程，能詳細講下么？6 d+ z( r8 O; \. j
謝謝
作者: 小白菜 時間: 2009-9-28 16:35
可以先把同一側的兩點當成一點，算出來后再把合成一點的兩點的力再算一次，高中的同向平行力。
作者: 李贛 時間: 2009-9-28 18:07
把旋轉軸設定在兩個支點上，這兩點的力的力臂為零。
作者: 草原蒙狼 時間: 2009-9-28 19:24
樓主需要補補課 上述用平面匯交力系可解 授人與魚不如授人與漁 G; b9 K7 w( r1 Z6 j% _+ _
# s7 w( J$ W; {/ x) p5 _
請看下面 力學教材
+ |# _( [6 q+ y) d A f! h8 o5 o5 p
2.1 平面匯交力系$ A9 ?$ ~' J( `
8 w& ?( q; }; ?. @* W: ~( W平面匯交力系的工程實例： L8 n" B9 I( v$ a: o
0 {) e/ d" n/ v- k9 b - f5 |3 @) g# h5 @* h
, r" \- O1 a3 ~ v2.1.1 力的分解
! `# S1 _: S' F/ Y O* y7 {! f& P7 Q/ h% Y
按照平行四邊形法則，兩個共作用點的力，可以合成為一個合力，解是唯一的；
9 g% O* a v# S' V5 p* D5 r/ S6 a, N5 G0 t: ~
但反過來，要將一個已知力分解為兩個力，如無足夠的條件限制，其解將是不定的。
( ]* s1 R9 {" S7 b0 c
; b% J! V2 ^9 r) u2.1.2 力在坐標軸上的投影
# e, h8 `4 i3 Y: y5 r# p9 L! u) a D0 O7 }7 _
% Y6 K% L1 b: J, Q
: C }1 u I8 z/ d( f/ @2 q( f' Z0 |
9 W% N- E, X% C1 n. x. [/ g注意:力的投影是代數量，它的正負規定如下：如由a到b的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時，則力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取負值。
, p9 J9 I$ u2 q- i; y1 ^
( G, ^2 V$ x9 X 6 X/ R& o, h& x2 C
7 _. g/ Z& e3 H; Y3 D
2.1.3合力投影定理2 Z! l' @7 ^) N- ] J
* d- J5 Z+ b2 a
& ]1 S( s+ i6 }. a# q |8 g2 f$ e6 [- _+ S
! w! z/ p$ [" T' [
* w; H/ E8 f& D+ u
* b! T6 Z5 P2 Q& H) _+ y4 n9 i0 a
+ X) s0 U/ V; H ) B! B' n' {; v) Y
+ i8 b. D# s( b) u
合力投影定理——合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數和。( G6 }& I) U, z6 c" V
- x! G1 ?& [& W6 N! |2.1.4 平面匯交力系的平衡條件
0 X9 Z2 Z. z5 Q- f% Z
) e3 _: _, j5 n8 ^2 ?( s' d3 ?6 X1 J( Y平面匯交力系可以合成為一個合力，即平面匯交力系可用其合力來代替。顯然，如果合力等于零，則物體在平面匯交力系的作用下處于平衡狀態。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力F等于零。即
7 H) H7 M( k% W& g, r7 y/ A( U) Y) b; L/ c0 Z- N! J
j! h% f: D- Y& i+ U2 M; e/ g# y. [" X1 [( C [5 R
即
4 t1 N; C8 e+ e6 R' T8 _( t
# L5 M6 D! {& s. C6 C2 Z" |9 R4 m3 c2 u
( s. C; r5 i, h7 h2 V
( Z: M) ^0 B9 t, ]2 r
力系中所有各力在兩個坐標軸中每一軸上投影的代數和都等于零。這是兩個獨立的方程，可以求解兩個未知量。: X! _9 H( C n7 Y
: w9 t, k, d* a( y7 b
例2-1 如圖所示為一吊環受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，與水平成30度角；F3=3000N，鉛直向下，試求合力大小。（僅是求合力大小）
! j& ~ R, \( S/ p1 d4 r, `2 {, C: x$ E2 w' L( F( z) c w6 ^
$ K5 ~+ {0 E$ T) N
7 }& G9 K% a3 d. ~6 a
例2-2 圖示為一簡易起重機裝置，重量G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過定滑輪A，繞在絞車D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑較小，大小可忽略不計，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計，各處接觸都為光滑。試求當重物被勻速提升時，桿AB、AC所受的力。
$ S. S+ n. l1 p$ l5 p& z* _6 C' d( u0 o/ d( O5 N7 ^# V% u% b; R: o$ F8 d) W% ]
0 O$ f; N0 i5 A5 a5 I
8 o1 ^% h1 Q6 q9 m0 _1 f' d$ K解 因為桿AB、AC都與滑輪接觸，所以桿AB、AC上所受的力就可以通過其對滑輪的受力分析求出。因此，取滑輪為研究對象，作出它的受力圖并以其中心為原點建立直角坐標系。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程有
^+ z0 Q G4 d( Q( v: V5 `! ~) F; J* j- t5 e7 D9 c; ` T, d+ [
6 H) u" I1 A- Y, F" D ]
m- c2 h/ `, O8 s; g ~' W
解靜力學平衡問題的一般方法和步驟：+ J7 _4 }3 i( Z- B
1 g* o, P! q% W& C
1.選擇研究對象 所選研究對象應與已知力（或已求出的力）、未知力有直接關系，這樣才能應用平衡條件由已知條件求未知力；/ V8 g) q: F( S" ]3 k3 K* h
4 X; n# Y5 G. J6 N5 D2.畫受力圖 根據研究對象所受外部載荷、約束及其性質，對研究對象進行受力分析并得出它的受力圖。. ]3 l+ {* A. L& S
* l/ e4 K/ {$ \9 y5 }( y( u3.建立坐標系，根據平衡條件列平衡方程 在建立坐標系時，最好有一軸與一個未知力垂直。
4 q7 J6 Z2 E& V, g+ T- M
$ s$ U; P1 y7 H+ {0 y U# ^% x在根據平衡條件列平衡方程時，要注意各力投影的正負號。如果計算結果中出現負號時，說明原假設方向與實際受力方向相反。# a) a* F( A: M* N& c
- R4 ]* V4 s4 a# X, M& n) U. a& K2.2 力矩與平面力偶系8 }1 m' f+ m% t* F' L- `
2 ]% ]! m7 H4 J2 `$ n, O
2.2.1 力對點之矩?(簡稱為力矩)
. F$ W: B5 i& B
+ A$ T( {# B2 d# Y6 l1.力對點之矩的概念
9 f! C' F* m% k: d
D0 D9 c2 d; m8 G( g為了描述力對剛體運動的轉動效應，引入力對點之矩的概念。; q1 r# @! Z* `" T2 _8 C
0 c) Y% E! y* b2 }9 ~ , {* g3 L$ i$ f& [( h, I" ^1 S
+ J9 s7 o1 ~6 O6 ~6 z# C# M力對點之矩用Mo（F）來表示，即 Mo(F) = ± Fd7 V& Q1 h6 _# }! A& G
1 Y8 ]# Y, K2 R% H k/ u
一般地，設平面上作用一力F，在平面內任取一點O——矩心，O點到力作用線的垂直距離d稱為力臂。
3 ]0 { g( c! N0 ~8 b% H
- P8 J) W4 f( L! n9 ? B & H9 i' f2 G+ b& s) Y" C
d$ s0 j! o: K3 gMo( F ) = ± 2△OAB % p) |8 p3 b6 I# p; s( x
3 o0 o1 T6 j4 t! H力對點之矩是一代數量，式中的正負號用來表明力矩的轉動方向。
' [4 k! t* J9 | P7 p; A5 x/ M/ b' t9 h) t$ R, n5 c/ ]$ ~
矩心不同，力矩不同。 ) p; A5 W% f1 ?
; q4 I: g! A5 S1 k0 `3 G+ r規定：力使物體繞矩心作逆時針方向轉動時，力矩取正號；反之，取負號。
2 t W" \8 c- g3 W7 R) L& w W7 x0 G4 |/ o
力矩的單位是Nmm。
$ Z3 z& V5 w2 }; G% E4 w
1 j5 F9 V% s5 F5 T9 q+ t由力矩的定義可知：' p! l; r Z3 F; [; @! F! h
( g3 M6 l: M6 n/ ~（1）若將力F沿其作用線移動，則因為力的大小、方向和力臂都沒有改變，所以不會改變該力對某一矩心的力矩。
% x! j+ V6 A( _+ z- L( r- l0 D3 K, L+ \" d! i( N( A" V/ O
（2）若F=0，則Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，則d=0，即力F通過O點。 2 K+ r8 }" |7 }& z8 x3 o
& a" N3 B1 r6 ?, u5 U3 `力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過矩心。 * e+ H8 Y. A( J) {1 _
' w0 j+ ?" W3 w! m! s9 ]" w5 f5 s* [2.合力矩定理" H5 N# w* k. x7 ] E1 k n6 S
" s5 ` N* s" `7 ]4 w: L1 _9 z
設在物體上A點作用有平面匯交力系F1、F2、---Fn，該力的合力F可由匯交力系的合成求得。: c# R! u$ e0 Z* W) i
4 K* {2 T. c+ H
4 [7 P8 B: z0 \2 B. d" g, h
7 Z1 \3 o0 v+ g* e4 \
計算力系中各力對平面內任一點O的矩，令OA=l，則
, W# E1 z$ f4 A& E& C+ _5 |0 N
4 N! K* }& i7 V* l3 P$ qMo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
1 m& H& \; S# R
7 Z& F0 v7 k; @# GMo(F2)=F2yl
2 r" h0 \& ?7 Z( E3 Y8 H
" w" }4 t$ _. b: F* c4 `Mo(Fn)=Fnyl
+ O8 @4 G, O' O# M* s7 N9 l9 h& r. z& `$ ^9 d
由上圖可以看出，合力F對O點的矩為
4 Z7 g. M U* g% f
! x, ]2 _5 w, o( a5 x& FMo(F)=Fd=Flsina=Fyl
; C/ C; L: a ?) k
) q' v/ k5 c3 w" P1 o據合力投影定理，有5 i* e0 B* ~$ f$ w1 I( @: v l, @
* `" s9 T9 D/ T, `% ^3 L" w
Fy=F1y+F2y+---+Fny
# f3 o( v) l& v* r5 @. w6 O2 T0 K9 E* w8 U: ^6 F) r
Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl% F2 X7 G* c! c2 G4 K: c
& x2 v9 t% @. }* r2 d即 4 T( [2 M J9 v0 c2 A3 o# l
# y, E# Y9 S4 S$ W( Y4 Q, d( _
Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)! p2 R- O, r- v1 t. T( l
1 \) R- Q+ n% F2 U- d$ S9 j ) h# Q0 E, X/ Y1 P6 ?9 x6 t: A
. e, R1 `' u- M0 C. j合力矩定理：平面匯交力系的合力對平面內任意一點之矩，等于其所有分力對同一點的力矩的代數和。' o+ o* u5 i( n
; {. }! K7 G, q; K5 R
3.力對點之矩的求法(力矩的求法)
. h! ]; W9 A4 C+ Q; h6 g) M
N- U% B6 T+ J* s9 S7 J（1）用力矩的定義式，即用力和力臂的乘積求力矩。
/ V* E6 K# a/ X# g. {2 f2 _2 P- A; N; b3 G1 v
注意：力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直于力的作用線。?
1 B3 `% N& k8 W' M2 `' ^2 B& r1 x" j: A
（2）運用合力矩定理求力矩。力分解
m$ c" @; F0 x3 ?% b; q
! W+ b7 c B1 |3 V( _1 T/ l例2-3 如圖所示，構件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F作用于C點，其方向角為 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F對O點的力矩。
2 E$ F7 j7 p1 t7 u9 u
* j+ g {4 d$ _2 s9 I / I6 `' H8 m% r+ k: ^# M5 b
. [( s" a8 B1 v解 （1）利用力矩的定義進行求解 & I9 j: ]" t/ v9 y2 D- R- n( Q0 f" B
3 X5 g# d5 r2 L1 e1 P* W
5 f( B @0 M& g g% F l- o, a& m) Y% c7 `$ b% m
如圖，過點O作出力F作用線的垂線，與其交于a點,則力臂d即為線段oa 。再過B點作力作用線的平行線，與力臂的延長線交于b點，則有
( d* H8 M5 m+ W. L* B% ^- R/ b! [. z& s- M0 Q' t/ l2 V
6 K3 X4 U! t8 _$ l- O2 t" \
' }" D! J' O% z- a$ @（2）利用合力矩定理求解 4 y1 f8 R1 I# ^2 c- |& ^6 U$ I+ { ]
{1 S; m8 I n
將力F分解成一對正交的分力! Q5 ?) M, `. `* X* G
, I0 X* k% u( m/ c
* N/ A' {1 }# P! R& Z6 e$ _! ?' [" ~9 t3 |
力F的力矩就是這兩個分力對點O的力矩的代數。即
) o' u' }. N" q0 c+ C5 _% A7 q/ m9 {6 O% k( C4 u _; V0 s0 G
Mo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)1 j: P7 C/ Z) K4 B# x# D
: E% E8 @ d( H3 ?4 W9 d2.2.2力偶及其性質7 E I/ _6 S) i8 H+ @/ Q8 m* l
# t( t/ r( W) \: r+ L5 q1.力偶的定義 0 K) R. L; M2 W1 X1 F& K
% l, ]/ Q6 w! E8 ^5 X5 c( [, d$ v) U
在工程實踐中常見物體受兩個大小相等、方向相反、作用線相互平行的力的作用，使物體產生轉動。例如，用手擰水龍頭、轉動方向盤等。1 d% V& E7 }0 i8 @: e
; Y" T. p7 t* ]& g5 j, K& h
, ^3 j6 E# X7 V/ c$ n# c" C, z* g9 A9 S
力偶——大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩力，如圖中的力F與F'構成一力偶。記作(F，F')
! f7 [. i- v; y8 S# q5 _: `
$ c: t H7 D2 ]/ r6 m0 ^0 B力偶作用面——兩個力所在的平面 P' f% `; P/ V# x) Y% I5 e
) |# N4 c9 j! ?1 h; ^3 N2 b# D: R8 S力偶臂——兩個力作用線之間的垂直距離d4 h& _/ Q, Q5 _, O W
/ u C- x! m" T; ]; t1 _+ E( h
力偶的轉向——力偶使物體轉動的方向 / `# A+ g5 H2 v6 d7 x4 B& Z
" C; g2 Y s* R7 d6 x m" p' ? z
力偶只能使物體轉動或改變轉動狀態。怎樣度量？
3 Y5 _# n9 J- \" Q7 y5 [+ d( t: U2 I$ S, n5 Q% d. v
力使物體轉動的效應，用力對點的矩度量。
% n- L/ e; A% t2 o* k
3 B7 X' B8 }; l, c' B# N0 o5 l設物體上作用一力偶臂為d的力偶(F，F')，該力偶對任一點O的矩為
% G) k4 P9 L' W8 o8 a: z/ U
7 q2 K2 ^+ V! e" ~, D& X ! D% n) V" X0 z- x2 ^% x" Y
, W: B6 d3 O) k3 Z) X" E6 jMo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
3 P0 \4 W& K3 ^. P+ L( L% |9 f
2 j, X; k) ]! O由于點O是任意選取的，故力偶對作用面內任一點的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積（與矩心位置無關）3 ]0 f& x" @1 m" Z6 R
4 y1 I: L4 c! U/ v3 B, x$ V
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積，記作M(F,F')或M
- l6 `+ F. J$ _1 I5 ?) h) l A5 O7 L' Y7 k1 z5 ~& h
M(F,F')=±Fd 規定：力偶逆時針轉向時，力偶矩為正，反之為負。# f& U8 o! N: b+ N& q
4 D; r, D s- l! u/ l
力偶矩的單位是Nmm。 力偶同力矩一樣，是一代數量。9 @: K/ l+ v: I: c% |
2 u) l7 u' N! r6 g" {4 J' gMo(F) = ± Fd / Y. J. W q8 \2 S4 l
, h' r1 Y. ]/ u( F0 g) n- y
力偶的三要素——大小、轉向和作用平面
: s6 q7 G8 k3 W/ M" v* \" O7 i f$ ]. ^9 [8 o) j
2.力偶的性質 4 P9 z! \! v/ C6 D8 w/ H* A V
/ Q0 s! J9 K' j2 ?/ b7 O
（1）力偶無合力。
$ j, T) ~& z( Z" s+ D) k( `& g3 C9 ]# S- d" w% i4 H/ ?. B
力偶不能用一個力來等效，也不能用一個力來平衡。& a4 C% i' ^, h( x( w
& Z" r( B* w* y" J8 ?+ v4 u
可以將力和力偶看成組成力系的兩個基本物理量。
5 o9 S7 H3 L: L+ O: _0 ?, ~+ z, ^& i6 ^- M
（2）力偶對其作用平面內任一點的力矩，恒等于其力偶矩。
& b! q q `+ b
5 W- D; Z8 B$ i7 G% b（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的兩個力偶，若它們的力偶矩大小相等、轉向相同，則這兩個力偶是等效的。
- D# |8 _- {$ G) \- o) B" k Z8 `" _' o! u |; T+ ]. P. C
力偶的等效條件： ) d& i8 ?. d0 m- }1 W q
) a' r" x r; g `
1）力偶可以在其作用面內任意移轉而不改變它對物體的作用。即力偶對物體的作用與它在作用面內的位置無關。
( I+ M; b' i7 v6 p$ K
" m( _7 j3 d4 C( ^$ d( P: H2）只要保持力偶矩不變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不會改變力偶對物體的作用。( a9 ] A4 P, B: N
4 z g; k( F4 _' R; ]# Y
2.2.3平面力偶系的合成與平衡
5 i: q* A7 {/ W/ c, p+ |" t9 \* M8 t9 u w1 t8 S: [
平面力偶系——作用在剛體上同一平面內的多個力偶。
X% ?$ F/ q H5 ]$ H5 w
7 z) f$ a& Z3 ^3 S, `1.平面力偶系的合成
5 {) ^& l$ x- T3 g( u& y$ ^3 G9 B
& s: K$ E, @# d; j/ i! h例 兩個力偶的合成
2 S7 L' \) p3 k6 u
8 _# M# e+ `7 L& _8 x
2 H7 I; |$ `+ l& B6 xM=M1+M2+---+Mn2 Q) W+ R- z! Z7 U
$ Y) F9 L. s$ T6 W
6 } C3 G [! ^' R0 l
————力偶矩等于各分力偶矩的代數和
u# ^* w5 o8 F4 h1 n6 {, Y" r. r s2 _ v8 x% F" A
2.平面力偶系的平衡
9 L3 t5 P+ b6 m8 @1 h/ |: U
: d. g$ w( E, u' q& t平面力偶系合成的結果為一個合力偶，因而要使力偶系平衡，就必須使合力偶矩等于零，
4 h" h2 f3 s" E: A7 [+ O' u- B# n4 _5 X. L- Y# ?3 n( w
例2-4 梁AB 受一主動力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁長l=5m ，梁的自重不計，求兩支座的約束反力。 _' z2 |( F* H1 m, |2 b, D3 P
8 o* s/ C( y; s) N- D, L
, `4 {3 j4 C9 m) y# A9 M
% `3 }% x; e( s+ C/ D解 （1）以梁為研究對象，進行受力分析并畫出受力圖: G) d g! t O- w1 U
# ~* Q7 P' m- C( k, y- k+ y
FA必須與FB大小相等、方向相反、作用線平行。
9 y! [& a. g/ a' T0 z: d$ @+ w- U1 k& p* S) h1 X- D
（2）列平衡方程
$ L; P% X% c# C- }
0 a6 W- o. t! f1 I . n* V$ m0 I7 i9 g1 c3 m: W
( o2 z/ J# M* H2 M1 J2.3 平面一般力系
% J B T2 A% f9 y8 i- Y; o4 Y: L, J
平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內，既不相交于一點又不完全平行。
! Q* ~) G0 y A* T+ ~
1 U9 y& N3 b$ L9 M; n$ I! s
% W, O" H$ C c, O6 y. Z* c0 n& J0 E# r$ G& |# x) h* `% J
上圖起重機橫梁AB受平面一般力系的作用
/ `% |+ U1 m$ x' j. n+ G
9 S/ K, }. o c# C- U3 D6 i2.3.1平面一般力系的簡化
" s. c0 G+ {) v3 ^' O, W
# M$ {5 G' X, Z- t# [- k1.力的平移定理力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內移動，而不改變其對剛體的作用效應。+ c) ~! ^$ n' y0 B4 N& @
( f# R* x ~0 n
問題：如果將力平移到剛體內另一位置？. U* i9 @. T0 S* `) X, p5 _
, U2 G: c1 S9 C5 S; r) r
將作用在剛體上A點的力F平移動到剛體內任意一點O，! o4 T5 }* |" D8 Q g
; i5 z* t1 `7 o3 N' b$ o
g q- Q9 @. m' ?
9 [. d3 M* M/ Z, b7 F0 A附加力偶，其力偶矩為6 K1 R5 A' _8 y, g U+ @5 M
9 F8 t% X6 K# r& `M(F,F'')=±Fd=Mo(F)1 b: q9 A# d5 e0 Q/ s
7 E4 R! m7 Y2 r+ j( p; q. L
上式表示，附加力偶矩等于原力F對平移點的力矩。8 s9 D& l- e( k. C: {$ _
. f% t* \# D6 v; a! O于是，在作用于剛體上平移點的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效應就與力F作用在A點時等效。' j) W4 G; }. u
% V$ F6 n$ {( B
力的平移定理——作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對平移點的力矩。
# W- \) }& Y! V9 b5 D- U( Z1 A3 b9 F' X: u% j
根據力的平移定理，可以將力分解為一個力和一個力偶；也可以將一個力和一個力偶合成為一個力。
) f5 X/ P. r3 L7 C- `' M. E$ s% u) T/ q- I; G2 p
# _/ K9 ^: y& @: h- `% S X
2.平面一般力系向平面內任意一點的簡化
/ a: H ]" K- ~1 k2 L
4 X, {8 T! t6 _- t0 C0 q' l2 Q
( U, Y9 c/ q0 D8 e; B" T0 y( M8 q * M# ~& `; o1 Q1 G
- c: o9 P2 s- Aα——主矢與x軸的夾角 , h9 C! C- M0 A) m
( o3 ]& _, J% N1 |Mo——平面一般力系的主矩
% [5 T6 o' Q6 Q) ~& v b1 P' Z; N( G8 k; W% p: l1 d6 C
主矩=各附加力偶矩的代數和。, x6 n8 y& D; u+ b& V$ a/ e
; { K B1 T$ L（由于每一個附加力偶矩等于原力對平移點的力矩，所以主矩等于各分力對簡化中心的力矩的代數和，作用在力系所在的平面上。）
, V- [7 N( K* h" d7 r* ~
1 a& D" q: S0 c, ]# ^Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)4 a' N% x: V$ \# j, x `" A* p$ B# D
& H2 `0 d0 F' u# Y( l! P: e
平面一般力系向平面內一點簡化，得到一個主矢 F'R 和一個主矩 Mo，
# Y' U9 G$ ^& c3 ]( V* T
/ `; F; y, z7 J/ Z1 K 主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開方，作用在簡化中心上。其大小和方向與簡化中心的選擇無關。 C, c) K& Q- o% k! Q* a8 L" |
/ \! h5 Z- s( e8 y) t6 e1 P1 Q y
主矩等于原力系各分力對簡化中心力矩的代數和，其值一般與簡化中心的選擇有關。 $ b$ B* b0 K) Z4 {
) i8 C! U) }' n9 {& |4 ]2 v3. 簡化結果分析
* \8 B1 ?) J! ]- N; c3 A* Q, u! T: ~7 ]5 h) u* d; J/ \: v6 b
平面一般力系向平面內任一點簡化，得到一個主矢 F' R 和一個主矩 M o ，但這不是力系簡化的最終結果，如果進一步分析簡化結果，則有下列情況：
! \0 ]& U: E! ~# z) w, }5 C
2 p: |4 V" _1 K- ~! t5 LF'R =0, M o ≠0
7 W9 \/ m2 X" H& I& p# D
# x, q* [; z7 r) |% B+ XF'R≠0, M o =0
" X4 Q+ Q! S. k% Y1 F6 n3 u) \* i$ K z3 O6 ]# F: g& H. w! [
F'R ≠0, M o ≠0 8 t7 _8 \/ {4 s1 i7 l' {0 ^
- a6 a9 y$ E! m% _
F'R=0, M o =0(力系平衡) - B/ m; j6 ^7 |
: y6 v4 L4 i6 H- A# a* z; y- r
2.3.2 平面一般力系的平衡7 K# o z" D2 J# V- j* S
+ b& R. C3 W k( N
1.平面一般力系的平衡條件
6 _: W- m/ o: o5 T/ q" M& w; X6 b* s
平面一般力系平衡的必要與充分條件為：
4 i u; E* ~( q7 H
5 `4 Z, [3 H* `; V: ^ . b, k+ i" O* P4 }$ ]5 ]3 j. I
4 [- u. r6 {' r0 [, L! v8 Z; }
# Q. v6 h3 w5 A' p' P3 P; N
6 C- R/ D4 o9 f2.平面平行力系的平衡條件 , j# G" e x" u, |; V& h
1 [$ Y3 K8 N3 U平面平行力系的平衡方程為
. Z# V3 B6 V2 i$ M! m2 l/ z4 B o! P1 }
8 D5 k0 |0 Q' G% i7 G m
7 r% u+ c7 f, g0 n; O( X
平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程，因此只能求出兩個未知量。
4 K- U7 s% {: i1 m& Z7 Q' F7 W5 d0 w6 @. S6 N8 a( N" y
例2-6 塔式起重機的結構簡圖如圖所示。設機架重力 G =500kN ，重心在C點，與右軌相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，與右軌 B 最遠距離 l =10 m 。平衡物重力為 G 1 ，與左軌 A 相距 x =6 m ，二軌相距 b =3 m 。試求起重機在滿載與空載時都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范圍。
0 }1 x1 b6 Z0 N, E1 E9 S$ H Z; F( B- Z: H% V: T8 `
( r5 R) G, m3 q
\; o7 ~6 y1 K7 n& `: Y解：取起重機為研究對象。% [: t3 e2 b; l
: S% Y+ w9 ^$ b
是一平面平行力系' _+ h: |4 A1 ]. i ]+ ?% U
$ g i6 n! g! Y* Z+ P* D9 o5 x4 Z
3.物體系統的平衡條件 ) A6 |5 Y P: n7 f4 o5 T) B
5 \$ b5 ^" G3 S$ x6 b& @0 r
物系——由多個構件通過一定的約束組成的系統。 0 Y9 j: E# m3 \8 h4 k: j
8 d) C# [" [) `" c5 `
若整個物系處于平衡時，那么組成這一物系的所有構件也處于平衡。因此在求解有關物系的平衡問題時，既可以以整個系統為研究對象，也可以取單個構件為研究對象。對于每一種選取的研究對象，一般情況下都可以列出三個獨立的平衡方程。3n
/ j! c2 k' \; J( C7 U7 o" n% j, q4 f( A, L, a
物系外力——系統外部物體對系統的作用力
3 m0 H5 C. r: Z8 d4 q
; F5 F1 e6 Q; e* p; T物系內力——系統內部各構件之間的相互作用力
2 ?0 W s' E& l$ q0 m3 q
5 ? C( \8 [4 U* Y1 N% E物系的外力和內力只是一個相對的概念，它們之間沒有嚴格的區別。當研究整個系統平衡時，由于其內力總是成對出現、相互抵消，因此可以不予考慮。當研究系統中某一構件或部分構件的平衡問題時，系統內其它構件對它們的作用力就又成為這一研究對象的外力，必須予以考慮。
作者: 草原蒙狼 時間: 2009-9-28 19:28
上面沒有高級回復，所以不顯示圖形，請管理員刪除。看下面! V! X+ o% D2 f' m% {: @
! a: k0 W8 Z) k' p3 e
2.1 平面匯交力系
平面匯交力系的工程實例：
" F# c6 G; [0 H. e( t( J
2.1.1 力的分解
8 L6 D1 k/ p' {$ D8 ~% S) p按照平行四邊形法則，兩個共作用點的力，可以合成為一個合力，解是唯一的；
2 d1 Q- y; z$ x9 a/ a# K( L$ U但反過來，要將一個已知力分解為兩個力，如無足夠的條件限制，其解將是不定的。
9 \* Z! M6 m# a6 y7 _) O& ]5 H9 Z2.1.2 力在坐標軸上的投影- m9 w w$ M5 Y2 Y6 \5 n( Y! Y1 J
8 R b a( e1 Z4 h* e4 G注意:力的投影是代數量，它的正負規定如下：如由a到b的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時，則力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取負值。 W. F; ~5 [- B$ a- Y; l) i
3 Y: L% \. D9 U4 s- S. o9 y2.1.3合力投影定理9 q1 v8 t: V8 l/ s1 v4 r
0 ~! J6 }5 p9 G: o
+ Z6 J& ?' e6 k! t1 x( n9 y
8 }5 Y7 Z5 b: X" t8 U |
6 X1 Y" B5 A* l! q2 G: `: }
合力投影定理——合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數和。9 Q1 L% b, m! O; U* H4 P+ k
2.1.4 平面匯交力系的平衡條件
4 a! D" P5 V% `5 _平面匯交力系可以合成為一個合力，即平面匯交力系可用其合力來代替。顯然，如果合力等于零，則物體在平面匯交力系的作用下處于平衡狀態。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力F等于零。即( r8 E2 a. n2 }" T$ F7 [5 x4 G
 ; Z) o& B: K. O% ^9 t
即 |
, h3 a/ M: v1 h4 P. ]7 M: L力系中所有各力在兩個坐標軸中每一軸上投影的代數和都等于零。這是兩個獨立的方程，可以求解兩個未知量。; L( [, m* |7 x7 c; a
例2-1 如圖所示為一吊環受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，與水平成30度角；F3=3000N，鉛直向下，試求合力大小。（僅是求合力大小）
( q; ]! n7 A+ N, z; y) e+ L0 x
. G( A+ Q, u" J- @3 q R例2-2 圖示為一簡易起重機裝置，重量G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過定滑輪A，繞在絞車D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑較小，大小可忽略不計，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計，各處接觸都為光滑。試求當重物被勻速提升時，桿AB、AC所受的力。% o6 l5 x8 M4 Y
7 j. i% ?; \. R& U1 A* W9 `解 因為桿AB、AC都與滑輪接觸，所以桿AB、AC上所受的力就可以通過其對滑輪的受力分析求出。因此，取滑輪為研究對象，作出它的受力圖并以其中心為原點建立直角坐標系。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程有
2 w' c. W8 T5 G# ~3 m
D. W& c' Z5 V
解靜力學平衡問題的一般方法和步驟：. |$ \+ P( g, a& R# M
1.選擇研究對象 所選研究對象應與已知力（或已求出的力）、未知力有直接關系，這樣才能應用平衡條件由已知條件求未知力；) Q" S, L* G1 y p5 d
2.畫受力圖 根據研究對象所受外部載荷、約束及其性質，對研究對象進行受力分析并得出它的受力圖。2 k# v, X, X& l) g
3.建立坐標系，根據平衡條件列平衡方程 在建立坐標系時，最好有一軸與一個未知力垂直。
" p4 ]! T4 \2 k; v7 _在根據平衡條件列平衡方程時，要注意各力投影的正負號。如果計算結果中出現負號時，說明原假設方向與實際受力方向相反。
/ I X; m( I( z( i. Z2 x( c2.2 力矩與平面力偶系
2.2.1 力對點之矩?(簡稱為力矩)
1.力對點之矩的概念
為了描述力對剛體運動的轉動效應，引入力對點之矩的概念。
+ P9 p5 {% I8 U* a, W; `7 j( S
力對點之矩用Mo（F）來表示，即 Mo(F) = ± Fd
* F z6 @+ T: M. x# D: v3 k一般地，設平面上作用一力F，在平面內任取一點O——矩心，O點到力作用線的垂直距離d稱為力臂。# c6 o7 s H# B1 P% z
) o+ w4 p5 Z& ~1 l" m' D& y5 u
Mo( F ) = ± 2△OAB 7 Q s% h2 J) Q( m6 _5 M. S* e
力對點之矩是一代數量，式中的正負號用來表明力矩的轉動方向。$ K! p5 o. A" c! q9 O
矩心不同，力矩不同。 4 p( B& V# f+ H1 W& X. n5 n. C
規定：力使物體繞矩心作逆時針方向轉動時，力矩取正號；反之，取負號。
% M% O& V0 P! @! m+ ^! Q* K力矩的單位是Nmm。# R: r3 A9 Z8 z
由力矩的定義可知：& U3 ?+ w2 t1 W8 d
（1）若將力F沿其作用線移動，則因為力的大小、方向和力臂都沒有改變，所以不會改變該力對某一矩心的力矩。
) x, n8 p2 `! ?# O（2）若F=0，則Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，則d=0，即力F通過O點。
% l1 [$ Z9 f" t6 h力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過矩心。
3 |9 Y3 N* N" @1 p% ]+ h2.合力矩定理$ Y y* b. c, p' n0 M
設在物體上A點作用有平面匯交力系F1、F2、---Fn，該力的合力F可由匯交力系的合成求得。
T& D- M/ W9 F+ b' @" M
0 Y2 ?5 ~: j" u2 E' }計算力系中各力對平面內任一點O的矩，令OA=l，則 y" D$ |% A& ~+ i8 P$ ]& o
Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
. M3 s \+ `. S9 R G7 [3 ~1 lMo(F2)=F2yl+ l2 d# U- S* W
Mo(Fn)=Fnyl
\0 \- f+ M$ S由上圖可以看出，合力F對O點的矩為
+ b) ^$ [/ J' x/ l$ [/ D9 HMo(F)=Fd=Flsina=Fyl
9 _3 y1 @9 J# R/ i4 l據合力投影定理，有6 r/ j# U2 F$ U; c: C
Fy=F1y+F2y+---+Fny
: @) Q2 A2 w3 G) iFyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl' l6 U% }" G- m4 m# l2 h& x
即
$ L: S2 Z' c5 g3 `( V2 p4 ]$ NMo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
& E1 E$ h1 {" ^) G/ w7 F" W7 q" y% O5 ]
合力矩定理：平面匯交力系的合力對平面內任意一點之矩，等于其所有分力對同一點的力矩的代數和。
4 Y( Y. W2 U; z3.力對點之矩的求法(力矩的求法)
; P/ `- P- s) A+ n! G; ^（1）用力矩的定義式，即用力和力臂的乘積求力矩。
% T( K/ t0 R4 Z注意：力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直于力的作用線。?
" _ ~/ C; q" a; C- }6 @; t! X/ O（2）運用合力矩定理求力矩。力分解
7 g1 ]7 K! t4 G5 ^% v2 H3 J3 i例2-3 如圖所示，構件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F作用于C點，其方向角為 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F對O點的力矩。
" ~2 x7 o+ _4 {$ a; G E, ~# Q u0 \' b
解 （1）利用力矩的定義進行求解
2 r, p' N; W9 I' A' b6 a; P" Q' @6 W' F U% R1 R
如圖，過點O作出力F作用線的垂線，與其交于a點,則力臂d即為線段oa 。再過B點作力作用線的平行線，與力臂的延長線交于b點，則有; y4 ? [7 o _3 _) ]8 W
0 O C6 l5 u& u+ _- a3 y8 J2 E+ o
（2）利用合力矩定理求解 2 j+ f6 M o9 R# Q+ o& m
將力F分解成一對正交的分力, _ c6 |) w& x+ {$ d2 x9 u, r! C
: N7 M+ y9 X! b! ]! J6 W力F的力矩就是這兩個分力對點O的力矩的代數。即
5 X8 _7 ~3 R7 ^3 B$ fMo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)3 G r- \" k' [0 c
2.2.2力偶及其性質
! a: C b& v' G1 l1.力偶的定義 ' F8 t2 _/ B8 c6 G' C" T! I
在工程實踐中常見物體受兩個大小相等、方向相反、作用線相互平行的力的作用，使物體產生轉動。例如，用手擰水龍頭、轉動方向盤等。' J1 {% f- D+ u5 V- e3 i# w
+ J# {3 W8 n0 v$ ` S2 l
力偶——大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩力，如圖中的力F與F'構成一力偶。記作(F，F')
7 n. S7 ]) p( v6 R% E力偶作用面——兩個力所在的平面
/ v- D# _) I- K4 q/ E力偶臂——兩個力作用線之間的垂直距離d4 s b: i3 r5 M! e
力偶的轉向——力偶使物體轉動的方向
3 c- r+ l3 b( x( j1 \ k# @力偶只能使物體轉動或改變轉動狀態。怎樣度量？
4 C! [# B/ A7 v7 T# ~力使物體轉動的效應，用力對點的矩度量。
' m( l( N) a- H3 b/ p設物體上作用一力偶臂為d的力偶(F，F')，該力偶對任一點O的矩為 i. d; ~9 m4 R* [# C0 }8 P7 ~* j
, q. U( _: D% u% o( p% iMo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
0 y+ v2 t' ]6 S- X+ B& E! k由于點O是任意選取的，故力偶對作用面內任一點的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積（與矩心位置無關）; C0 b+ V* ?7 x. S6 T- _8 K
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積，記作M(F,F')或M0 f: b9 g" X5 D8 U
M(F,F')=±Fd 規定：力偶逆時針轉向時，力偶矩為正，反之為負。# r4 M! e) W* n, }
力偶矩的單位是Nmm。 力偶同力矩一樣，是一代數量。3 ^- Q7 C$ _8 O( S
Mo(F) = ± Fd
+ D+ T" M# J7 ~% X _# ]' t! c力偶的三要素——大小、轉向和作用平面
1 ^- y+ N' m; C* |2.力偶的性質 ' B5 C) X. A8 ?/ g
（1）力偶無合力。
: t" x/ x8 c" k* h: R力偶不能用一個力來等效，也不能用一個力來平衡。& S- S H3 H, @& p
可以將力和力偶看成組成力系的兩個基本物理量。
5 Y' x) b8 d2 d* |. M（2）力偶對其作用平面內任一點的力矩，恒等于其力偶矩。
s# a/ a7 C2 y. c) d) |（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的兩個力偶，若它們的力偶矩大小相等、轉向相同，則這兩個力偶是等效的。
( d" f2 N- k% F力偶的等效條件： ; R* B6 G: @6 T# t& n0 W7 W F
1）力偶可以在其作用面內任意移轉而不改變它對物體的作用。即力偶對物體的作用與它在作用面內的位置無關。
m( x' M- y- A8 ^3 D' Z6 Y& u0 y2）只要保持力偶矩不變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不會改變力偶對物體的作用。5 k, ?- b) Z5 h+ N; i& t* _1 \
2.2.3平面力偶系的合成與平衡9 n5 V0 i' W, g9 m* t" O
平面力偶系——作用在剛體上同一平面內的多個力偶。+ F: V, L; y/ ]) z2 ~/ r% J( s6 \
1.平面力偶系的合成
7 s4 k# q" y) i例 兩個力偶的合成
9 f8 s* ^, `4 KM=M1+M2+---+Mn
& e0 Z4 F' B; ^ |
5 g/ K2 Z0 L# v————力偶矩等于各分力偶矩的代數和
作者: 草原蒙狼 時間: 2009-9-28 19:29
2.平面力偶系的平衡1 J3 P. `$ T5 u9 H9 o2 }
平面力偶系合成的結果為一個合力偶，因而要使力偶系平衡，就必須使合力偶矩等于零，! G+ o: `7 a, T
例2-4 梁AB 受一主動力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁長l=5m ，梁的自重不計，求兩支座的約束反力。
+ `8 N$ o1 c) v, h( P
6 P2 x* `- Q: `# v9 v7 @; w解 （1）以梁為研究對象，進行受力分析并畫出受力圖
% E' p6 K5 p" E+ `( X; e3 |FA必須與FB大小相等、方向相反、作用線平行。 7 ?; q/ Z% u2 k. ^5 \
（2）列平衡方程7 ` t* {7 n2 h: e: X4 l
) C! u6 @- L4 a: z& E
2.3 平面一般力系
平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內，既不相交于一點又不完全平行。
8 X( I7 M! X3 D# ?$ ^! v) W' b6 t2 G
+ x9 t# E0 K) ^1 g9 D- K) [% q上圖起重機橫梁AB受平面一般力系的作用! w$ T R3 b& z( c# l+ }
2.3.1平面一般力系的簡化' f& y* f# v5 a1 _( F. u
1.力的平移定理力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內移動，而不改變其對剛體的作用效應。
5 r: |$ c2 a7 S, u) N1 |' P: ~ j問題：如果將力平移到剛體內另一位置？6 y7 D& k+ [9 e) \6 v: ?
將作用在剛體上A點的力F平移動到剛體內任意一點O，% T0 u8 A3 L1 J* U8 Z5 S: F
8 E: i8 S3 j, O( [
附加力偶，其力偶矩為& Q/ v" ^* o9 T, V! m+ e; W! v& s
M(F,F'')=±Fd=Mo(F)3 p$ L4 }! W/ l5 ^: h
上式表示，附加力偶矩等于原力F對平移點的力矩。
& A. q' ^% ?; \$ l6 ]于是，在作用于剛體上平移點的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效應就與力F作用在A點時等效。 j, G) o" M5 C) N
力的平移定理——作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對平移點的力矩。& y7 c7 l% h: |4 p0 r* P) M" G
根據力的平移定理，可以將力分解為一個力和一個力偶；也可以將一個力和一個力偶合成為一個力。
( n' C' _8 t/ }! l! k! S
0 d5 A- e: G6 o2.平面一般力系向平面內任意一點的簡化
$ z0 b+ q* v, U/ A" y: n5 o7 r3 B. R
α——主矢與x軸的夾角
. ?- B6 U R7 f( m! C1 l6 l' E2 J5 xMo——平面一般力系的主矩
+ A: O9 e7 I& Y, z$ Y8 n主矩=各附加力偶矩的代數和。4 C; D! M% x* Q. x0 a
（由于每一個附加力偶矩等于原力對平移點的力矩，所以主矩等于各分力對簡化中心的力矩的代數和，作用在力系所在的平面上。）
9 T( X& j% C6 s# A% b) wMo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)+ @, I" `5 G0 o( |7 [9 l7 v
平面一般力系向平面內一點簡化，得到一個主矢 F'R 和一個主矩 Mo，
8 r {/ l" u1 i: B 主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開方，作用在簡化中心上。其大小和方向與簡化中心的選擇無關。
主矩等于原力系各分力對簡化中心力矩的代數和，其值一般與簡化中心的選擇有關。
3. 簡化結果分析
平面一般力系向平面內任一點簡化，得到一個主矢 F' R 和一個主矩 M o ，但這不是力系簡化的最終結果，如果進一步分析簡化結果，則有下列情況：
F'R =0, M o ≠0
F'R≠0, M o =0
F'R ≠0, M o ≠0
F'R=0, M o =0(力系平衡)
2.3.2 平面一般力系的平衡
1.平面一般力系的平衡條件
平面一般力系平衡的必要與充分條件為：
% D4 e+ e9 l; N* Y: v5 h f* o# o" ] U. [; r
2.平面平行力系的平衡條件 9 m/ n8 `. a8 U5 K. y
平面平行力系的平衡方程為 $ G* q( Q2 [- J% T6 _
^ L- m+ U9 I; }- h平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程，因此只能求出兩個未知量。
例2-6 塔式起重機的結構簡圖如圖所示。設機架重力 G =500kN ，重心在C點，與右軌相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，與右軌 B 最遠距離 l =10 m 。平衡物重力為 G 1 ，與左軌 A 相距 x =6 m ，二軌相距 b =3 m 。試求起重機在滿載與空載時都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范圍。
* e- g6 e+ V/ B9 Z/ W
解：取起重機為研究對象。
2 d2 a7 m! d( W5 u$ r% a是一平面平行力系9 g A2 }' s4 k* d; N7 J: p
3.物體系統的平衡條件
物系——由多個構件通過一定的約束組成的系統。
若整個物系處于平衡時，那么組成這一物系的所有構件也處于平衡。因此在求解有關物系的平衡問題時，既可以以整個系統為研究對象，也可以取單個構件為研究對象。對于每一種選取的研究對象，一般情況下都可以列出三個獨立的平衡方程。3n
物系外力——系統外部物體對系統的作用力
物系內力——系統內部各構件之間的相互作用力
物系的外力和內力只是一個相對的概念，它們之間沒有嚴格的區別。當研究整個系統平衡時，由于其內力總是成對出現、相互抵消，因此可以不予考慮。當研究系統中某一構件或部分構件的平衡問題時，系統內其它構件對它們的作用力就又成為這一研究對象的外力，必須予以考慮。
2 @# @' z# h2 b6 I! @4 e: Z6 f* M
作者: 無能 時間: 2009-9-28 20:39
依圖為空間平行力系，其平衡條件是：
8 x: M1 f& J, aP1+P2+P3+P4=W
& R; ^1 i1 M5 H0 F+ b4 X3 VWB=(P2+P4)A" H% N7 `2 O1 Q% ~: M f
WD=(P1+P2)C! F, f( j+ }2 B$ `
3個平衡方程，4個未知量，此為一次靜不定結構，必須得知各個桿件的E，補個變形協調方程，方可求解。
) Z; t9 V- `4 f- o# L% g1 i$ }對鋼而言，因為其彈模E高達200Gpa，在靜不定的情況下，某一構件長或短若干微米，受力情況就面目全非（比如Φ50X4長100的鋼管，其彈變10微米，外力變動就達1噸多，不可謂不大）。所以此題若將支撐改為3個，即變身為靜定結構，求解就易如反掌了。
作者: w9049237 時間: 2009-9-28 21:00
8# 草原蒙狼 6 k5 G( N4 y' @: U2 F# ]* ?' C1 I
佩服.......無言!!
作者: rabitzh 時間: 2009-9-28 21:02
頂，我也發現用普通的力學平衡只能列三個方程，所以是靜不定結構。: z4 r) u3 E. J- }6 F2 E. u
" E- j, K. G$ o8 @4 m8 a
如果是理論力學范疇的話，這無解的，但從材料力學變形協調的角度還是可以求出的，就是樓上所說的那樣。
( F; o& f6 V, | 9# 五更雞
作者: 草原蒙狼 時間: 2009-9-29 15:21
看來是空間力系解決的5 R5 Y; l0 |7 }; W$ t! o" j
6 H r9 n0 d/ v空間力系——各力的作用線不在同一平面內的力系。
3.1 力的投影和力對軸之矩
3.1.1力在空間直角坐標軸上的投影
1.一次投影法
5 t+ V, V; R. P# l% H3 v" `: m設空間直角坐標系的三個坐標軸如圖所示，已知力 F 與三個坐標軸所夾的銳角 , 則力 F 在三個軸上的投影等于力的大小乘以該夾角的余弦，即! O+ |) ]# `3 C9 w
/ ?' X- I; }' r2 w! Y
2.二次投影法
有些時候，需要求某力在坐標軸上的投影，但沒有直接給出這個力與坐標軸的夾角，而必須改用二次投影法。
" l+ O- R5 X' }, p, ^ |& o, N; i反過來，若已知力在三個坐標軸上的投影Fx、Fy、Fz，也可求出力的大小和方向，即
5 e, p. F; P/ Q& f2 }7 I* i9 c; _4 o8 u/ y3 T5 W4 u) Q
例3-1 斜齒圓柱齒輪上 A 點受到嚙合力 F n 的作用， F n 沿齒廓在接觸處的法線方向，如圖所示。 a n 為壓力角， β 為斜齒輪的螺旋角。試計算圓周力 F t 、徑向力 F r 、軸向力 F a 的大小。
0 U# I' N9 }/ V- N4 P1 ^) o; X9 g
解 建立圖示直角坐標系Axyz,先將法向力 F n 向平面Axy投影得 F xy ，其大小為
8 X) V, u5 Q* u+ E) l) b+ h0 y* zF xy =F n cos a n
向z軸投影得徑向力
F r =F n sin a n
然后再將 F xy 向 x、y 軸上投影，如圖所示。因 q =β ，得
圓周力 F t =F xy cos β =F n cos a n cos β
軸向力 F a =F xy sin β =F n cos a n sin β
3.1.2力對軸之矩
在平面力系中，建立了力對點之矩的概念。力對點的矩，實際上是力對通過矩心且垂直于平面的軸的矩。
8 K) h9 g1 S) P/ |* r' Z以推門為例，如圖所示。門上作用一力 F ，使其繞固定軸z轉動。現將力 F 分解為平行于z軸的分力 F z 和垂直于z軸的分力 F xy （此分力的大小即為力 F 在垂直于z軸的平面A上的投影）。由經驗可知，分力 F z 不能使靜止的門繞z軸轉動，所以分力F z 對z軸之矩為零；只有分力 F xy 才能使靜止的門繞z軸轉動，即 F xy 對z軸之矩就是力 F 對z軸之矩。現用符號 M z（ F ）表示力 F 對z軸之矩，點O為平面A與z軸的交點， d 為點O到力 F xy 作用線的距離。因此力 F 對z軸之矩為 ' j; \( Z1 f# {9 ^7 k
9 s- ?) r+ m- a ]+ y: p
式表明：力對軸之矩等于這個力在垂直于該軸的平面上的投影對該軸與平面交點之矩。力對軸之矩是力使物體繞該軸轉動效應的度量，是一個代數量。其正負號可按下法確定：從z軸正端來看，若力矩逆時針，規定為正，反之為負。
力對軸之矩等于零的情況：（1）當力與軸相交時（此時d=0）；（2）當力與軸平行時。
3.1.3合力矩定理
如一空間力系由 F 1 、 F 2 、…、 F n 組成，其合力為 F R ，則可證明合力 F R 對某軸之矩等于各分力對同一軸之矩的代數和。寫為
: x& m& |- ^$ I( Q& h+ e
3.2空間力系的平衡
3.2.1空間力系的簡化
力偶矩矢
/ f7 L a6 Z- G+ z$ b i
設物體上作用空間力系 F 1 、 F 2 、…、 F n ，如圖所示。與平面任意力系的簡化方法一樣，在物體內任取一點 O 作為簡化中心，依據力的平移定理，將圖中各力平移到 O 點，加上相應的附加力偶，這樣就可得到一個作用于簡化中心 O 點的空間匯交力系和一個附加的空間力偶系。將作用于簡化中心的匯交力系和附加的空間力偶系分別合成，便可以得到一個作用于簡化中心 O 點的主矢 F' R 和一個主矩 M O 。 : I8 f# ]# r8 L$ e
' j% W. Z( F, w; B$ X" C3.2.2空間力系的平衡方程及其應用
空間任意力系平衡的 必要與充分條件 是：該力系的主矢和力系對于任一點的主矩都等于零。即 F' R ＝ 0 ， M O ＝ 0 ，則
( q2 \2 h2 e; [3 f由上式可推知，
空間匯交力系 的平衡方程為： 各力在三個坐標軸上投影的代數和都等于零 。
空間平行力系 的平衡方程為：各力在某坐標軸上投影的代數和以及各力對另外二軸之矩的代數和都等于零。
3.3 空間力系平衡問題的平面解法
當空間任意力系平衡時，它在任意平面上的投影所組成的平面任意力系也是平衡的。因而在工程中，常將空間力系投影到三個坐標平面上，畫出構件受力圖的主視、俯視、側視等三視圖，分別列出它們的平衡方程，同樣可解出所求的未知量。這種 將空間問題轉化為平面問題 的研究方法，稱為 空間問題的平面解法 。這種方法特別適用于受力較多的軸類構件。
例3-3 帶式輸送機傳動系統中的從動齒輪軸如圖所示。已知齒輪的分度圓直徑d=282.5mm，軸的跨距L=105mm，懸臂長度L 1 =110.5mm，圓周力F t =1284.8N，徑向力F r =467.7N，不計自重。求軸承A、B的約束反力和聯軸器所受轉矩M T 。
解（1）取從動齒輪軸整體為研究對象，作受力圖。
( R. g% z" ^: I" o, J
（2）作從動齒輪軸受力圖在三個坐標平面上的投影圖。 N! U* \. S+ A! p" q
" @3 O9 b- O$ }# [4 L（3）按平面力系（三個投影力系）列平衡方程進行計算
作者: fengjianzjg 時間: 2009-10-1 18:29
nihaoa hehe
作者: p_p_5566 時間: 2009-10-1 23:03
樓上的搞得這么復雜呢，應該不是搞實務的吧，既然平臺為一剛性水平臺又有重心W與各支撐點的相對位置，那么各點受重力關系為(P1+P2)
P3+P4)=D ：（C-D） ; (P1+P3)P2+P4)= (A-B) :B .......當然樓主沒講明是哪種彈性支撐件，如果是豎直的首先根據上述受重力關系式算出對邊兩點的力，再算出一邊兩點的各點受力值。
作者: p_p_5566 時間: 2009-10-1 23:04
是“：”真么出表情了？？？？？？？？
作者: easylife 時間: 2009-12-22 10:55
依圖為空間平行力系，其平衡條件是：
$ M( |, O4 S2 j. tP1+P2+P3+P4=W
9 v& U5 j- R8 [2 R. k$ YWB=(P2+P4)A
9 C) l! R+ X u9 lWD=(P1+P2)C
+ h7 r& |$ J1 j& r3 U! A3個平衡方程，4個未知量，此為一次靜不定結構，必須得知各個桿件的E，補個變形協調方程，方可求解。
* \/ V- g+ G K# X, c: d- N' H6 r( K對鋼而言，因為其彈模E高達200 ... I0 t7 _: m, @' j0 \
五更雞 發表于 2009-9-28 20:39
+ j: L4 {( | y. I# U i9 ~0 f感謝大家的熱心解答，這個問題的由來是：5 D: |2 H" l' _" j' H% B, t8 E% g
某機器安裝4個空氣彈簧減震器，需要為每個獨立的減震器充氣，各減震器氣壓需要根據其受載大小確定。/ p0 k$ I- G3 t4 q/ q; T8 k7 |/ j5 n% n
減震器如下圖--其結構外部為橡膠材料.
: h) `9 z$ x7 J! v8 W8 F[attach]159462[/attach]
0 P( S# I/ ?9 o9 Phttp://search.newport.com/?sku=SLM-1A" f0 V# c. p0 {* E+ q& N- ]
0 h+ y1 i+ m3 }+ e
0 b5 _; Y, I% R0 {
下面是我們的解決辦法：
3 N8 ~3 Q6 U* i計算各支點受力時，假設支撐件為普通橡膠柱（受載后變形為彈性變形），各橡膠體變形為x1,x2,x3,x4，橡膠剛度K,
5 ^% m0 f/ D% T+ H變形協調方程為(x1+x3)/2=(x2+x4)/2，其他方程前面大俠有介紹.
4 Y, d2 s7 S+ U4 z5 T! v9 }2 z" B, ]+ R b& K& Z
也可以通過使用有限元軟件求各點反力來求解.
作者: 無能 時間: 2010-1-7 18:47
樓主把工程問題整成了數學問題，弄一堆代數再加上未知的彈性，難怪大家忙活死了。
* F* J) j4 P% I* m$ M1 Z直接給出數值，問題就大大簡化了。+ ` [$ N9 Z% w/ m+ l2 h, Q" W1 M2 U
看樣子重物居中，則p1=p3，p2=p4。9 V/ A0 I1 i7 ]' k" h7 \/ S
p1+p2=w/20 `" _3 ]1 b. Q
WB=p2*A*2 z' P) K: C- }6 H% |/ v+ T0 f6 @
倆方程倆變數，搞定。
作者: zyz4190 時間: 2012-6-5 08:42
可惜呀，討論就結束了！
作者: oliver97 時間: 2012-6-22 22:25
說得詳細 謝謝
作者: hunter914 時間: 2024-6-6 11:32
四點支撐平臺各支點承重量計算的問題.樓主分析的相當棒。學習了
& _& p* Q" l' r/ j; R( h. @
作者: 溺水的咸魚 時間: 2024-6-20 11:42
可以參考導軌滑塊的設計計算
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