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機械社區

標題: 已知面角，如何求歐拉角，機器人坐標變換怎么求？ [打印本頁]

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作者: 水水5    時間: 2025-7-26 18:44
標題: 已知面角，如何求歐拉角，機器人坐標變換怎么求？
問題的來源是這樣的：
0 J) s  [+ J  i9 h
有一個項目，機器人末端的手爪，因為種種情況，設計了一個傾斜的吸盤。需要在3D視覺的引導下，去吸取一個傾斜的物體。
% f4 Y- ]4 s& `$ J機器人編程工程師嫌手工做工具坐標系比較費時費力，問我能否通過三維軟件，求得坐標變換的數值，直接填入機器人系統中的工具坐標系的標定參數中。
我感覺應該挺簡單的呀，于是就在三維模型中（我是用solidworks進行的建模）建立了兩個坐標系，一個是安裝法蘭的坐標系，一個是吸盤面的坐標系。
' w2 i) [) W; ~4 e/ p# m7 l然后測量了兩個坐標系的位移，和角度，然后給了機器人編程工程師

: i6 L' n/ c2 x+ k% t$ i結果發現不對（測試方法：走軸坐標ABC，并不能繞坐標系原點旋轉，證明坐標系不對）
$ Y: m3 K3 e( D4 Z5 I9 U8 e7 @& X2 ]
. M9 T& e/ s! r5 T6 S, y+ Q兩個坐標系的位移很好測量。兩個坐標系的角度，我是這樣測量的，我的solidworks版本低，沒法直接給出數，于是我建了三個面，例如要測量Z軸之間的角度，我就測量了兩個XY平面的角度。

于是我將這個問題抽象出來了，花了大量的時間研究面角，歐拉角，也沒研究明白。發現這個歐拉角，這個三個軸的旋轉順序還有要求，有ZYZ，有XYZ，可能各個品牌的機器人還不一樣。

0 {9 F) G$ Q2 u我抽象了模型，問了AI，竟然說我這樣的坐標系不存在？

下面是我抽象出來的數學模型：兩個坐標系的三個面之間的角度都是30度，坐標系原點重合，求坐標變換歐拉角。
& {$ p, N/ L  l7 u0 P$ O1 {* d
有沒有高手給解答一下。

以下截圖是這個兩個坐標系的空間位置
[attach]577212[/attach]
2 E! Y1 q8 a  ]7 v[attach]577213[/attach]
[attach]577214[/attach]
[attach]577215[/attach]
( Q6 t' ^- E& V* X; \

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作者: 學者11    時間: 2025-7-26 19:12
機械手變換坐標系要是這么容易，那何來機械臂動力學和D-H建模法呢。
* L- ]. f3 k  S0 J6 t+ h) D' _, Z先了解點基本常識吧，https://zhuanlan.zhihu.com/p/692369673

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作者: ckc521    時間: 2025-7-26 20:52
樓上正解；五軸機床轉換你懂不？你可以把機器人看成一個五軸機床，用DH法建模來求解旋轉角度，從機械手末端到基座，或者從基座到機械手末端，都可以推導出來。
% D6 t' u( W/ x: z- s% N* \& V0 G

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作者: ckc521    時間: 2025-7-26 20:53
還有別問國內的AI，國內的AI，連歐拉角動態旋轉和靜態旋轉的等效性都不會給你正確的推導出來。
  i( {* t; u9 \2 [

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作者: 夢里啥都有    時間: 2025-7-26 21:40
不懂,但是AI只能夠搜資料,有時候給不了出處的還不能夠信.
何況復雜的建模肯定少不了計算的優化.
# ?) U5 X! o: T; f* }矩陣肯定少不了需要高效的算法.
我只會簡單的x^x+y^2=1
x=cos(theta)，y=sin(thea)
% x/ p7 r8 w- S" j$ K# ]' m; J這些東西肯定少不了各種知識.
& z0 g: H- a7 Q+ ~, e與其糾結,不如先把路走遠,再走深.
' W5 |2 h+ I: M4 b

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作者: cc851    時間: 2025-7-27 07:22
機械工程師解決不了現場調試的痛，模型上永遠都是理論的，何況這么多零件組裝在一起的累積誤差，對于相機和機械手的計算補償來說都是災難。最近幾年一直做復合機器人的項目，一直頭痛精度問題，都和這些有關系。

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作者: 冷月梧桐    時間: 2025-7-27 14:23
直接把機械手模型和治具導入SW/各類機械手軟件，模擬點位，然后出各個軸的角度數據就好了

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作者: DaedraMech    時間: 2025-7-28 11:56


: A, }, Q* f: E( q" [1 P不知道我有沒有正確理解樓主的意思，我先談談自己對坐標變換的理解：
' {* G& t; F9 |4 D* h7 m坐標變換矩陣既是變換參數（轉角、位移），又是變換后坐標系的基底在原坐標系上的坐標組合。
/ ^# @# \: Q2 B" W+ A( S6 I
樓主在SW中使用的方法是控制三個正交平面和原平面各成30°，我個人更喜歡直接建立坐標系，由于x軸是YZ面法向量/y軸是XZ面法向量/z軸是XY面法向量，所以我約束3個新坐標軸和原坐標軸各成30°達到效果和樓主應該是一樣的。三個基底（[ix iy iz]，[jx jy jz]，[kx ky kz]）有9個未知坐標值，有【3個基底長度為1】、【新基底和原坐標軸各成30°】、【基底之間互成90°】這9個約束一定能在SW中畫出3個代表基底的線段，由此即可建立新坐標系，測量線段端點的坐標值即可獲得變換矩陣。
0 _/ v1 ], y$ \! {  n# [9 M" x[attach]577235[/attach]
[attach]577228[/attach]
1 F0 n* K5 k$ P我們來測試一下，我們假設工具坐標系上有一點[0.5 0.6 0.7]'，我們想知道該點在法蘭坐標系上的坐標值，那就可以用變換矩陣左乘這個向量：
4 r9 i3 H6 r4 j& X[attach]577230[/attach]
把獲得向量的坐標值輸入SW，測量下它在工具坐標系下的坐標，果然還是[0.5 0.6 0.7]'，變換矩陣是正確的：
; Q1 R3 J# f: c1 C4 D/ d, S6 G[attach]577234[/attach]
[attach]577233[/attach]
如果坐標系還有位移，可以使用齊次變換矩陣進行變換：
4 B' T4 O% `: C/ m9 {; @: p[attach]577228[/attach][attach]577231[/attach]
/ a$ x$ ~: W. ]& l  B# B上面的演示中，樓主可以看到，矩陣里的坐標值就是特定角度的正弦/余弦值，所以歐拉角可以從這些角度中拆解出來，也就是總變換矩陣可以拆解成一系列單軸角度變換矩陣連續左乘，由此可以表示出坐標系繞各軸旋轉的角度和先后順序，這也就是樓主說的“面角轉換為歐拉角”，過程較為麻煩，我個人不推薦這種方式。
" z+ J7 ^7 X4 h; ^0 Q- ^

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作者: DaedraMech    時間: 2025-7-28 14:23

DaedraMech 發表于 2025-7-28 11:56
不知道我有沒有正確理解樓主的意思，我先談談自己對坐標變換的理解：
坐標變換矩陣既是變換參數（轉角、位 ...

一般對算法這邊來說最直接的就是拿到變換矩陣了，不知道為什么還要舍近求遠獲得歐拉角，不過樓主需要的話可以按照下圖解方程，獲得各軸轉角和順序。另外，方程是多解的，比如【先繞z軸逆時針旋轉17.927°，再繞y軸順時針旋轉24.465°，再繞x軸順時針旋轉17.927°】就是其中一個解：

[attach]577238[/attach]
1 a3 l& p& n- J* o# y" ]5 W

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作者: sen1234    時間: 2025-7-28 18:11
線性代數嗎，都忘得差不多了

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作者: 水水5    時間: 2025-7-29 19:18

DaedraMech 發表于 2025-7-28 14:23
一般對算法這邊來說最直接的就是拿到變換矩陣了，不知道為什么還要舍近求遠獲得歐拉角，不過樓主需要的話 ...

+ _1 n2 ^) ?; D7 Z# L; m! v8 C感謝層主，膜拜
! O1 m# A2 `0 R& i
! R0 n' x5 |0 H6 S我一定把它付諸實踐
. {0 M$ i% d% ~$ }
我又搜索了一些其他的方法，再次請樓主給于指導。一些方法貼入后面的回復。
* \0 f0 r6 z( {! p7 V- P0 M2 I2 m

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作者: 水水5    時間: 2025-7-29 19:20

# K. l$ T2 |) B8 G
方法一 本文轉載自簡書，作者是梁間。表示感謝
數學模型已知兩個坐標系在各方向上尺度縮放比例一致，兩個坐標系的轉換關系可以用7個參數來表示，3個旋轉參數，3個平移參數，1個比例參數。已知三點在A、B兩個坐標系中的坐標，那么這7個參數可以唯一確定。
% _0 l( ?4 f4 B% n9 E4 A坐標轉換的數學模型為：

7 s% `5 G$ O( C. I% P, i; j其中，λ是比例參數，R是旋轉矩陣，Δ是平移向量，A、B分別是兩個坐標系中的坐標。
比例參數λ最容易計算
7 L4 v5 X8 G5 F" a6 Z4 v
' g4 ]& e5 |% T/ f/ q9 w其中 為兩點在A坐標系中的距離。
9 q% M' W- X$ d/ d/ D/ R6 K/ ]  H1 M旋轉矩陣R是一個3x3的正交矩陣，有3個自由度。可利用反對稱矩陣S來構造旋轉矩陣R：
0 G8 L* G% w5 W" l: j, X7 v
% b' X/ \# h1 \那么

' V" w' k9 D" ^' w其中I是單位矩陣，這里R只有a、b、c三個變量，解出a、b、c即可確定旋轉矩陣R。
5 R4 _- D: }0 d8 L. D0 F把兩點帶入(1)式并相減消去ΔX、ΔY、ΔZ
/ y5 p: x( _* l0 v1 f$ z
) @/ |, Q) O4 c) _+ s; t1 T; a這里為點在A坐標系X軸向坐標值，為已知量。我們簡化一下寫法設定：
9 w! g% E: }- h5 W: b
1 @/ \3 Q( _& o. X- |- y1 k這樣(3)式可寫為
; _) y  Z, N' S
( f0 U0 o: L( ?- d; _把(2)式帶入(4)
5 ^+ ^' Q1 r; i2 \3 q! {
6 u) ?$ \7 Z3 _6 Q2 N& I帶入S
% P8 ~* S& j6 t+ W- f: C+ f2 ?
展開

% U2 Z' f4 B5 J- Z& _整理可得

(5)式只有兩個獨立方程，解不出a、b、c三個未知量。帶入點得到和(5)式類似的方程組，兩個方程組聯立，取3個獨立方程
+ i5 D3 P/ e" ?  [% w) G
6 v( g+ A7 m6 s
/ w0 f7 X- L7 M" a可結出
+ G% d: P% O# ?7 G4 o( Y  ]1 b0 u
5 n, R1 x' a/ A$ c' o9 c把a、b、c帶入(2)式可到旋轉矩陣R，把任意一點坐標帶入(1)式可得Δ。


+ C1 i/ {$ @/ n) P$ r5 h7 S! L
9 `; a7 o6 g% q, O0 @6 L+ s作者：梁間
$ R0 P% Q4 W0 m: o, X鏈接：https://www.jianshu.com/p/58cf5655f9a9
% y& m7 a2 C0 K來源：簡書
  j' n* t1 @, W著作權歸作者所有。商業轉載請聯系作者獲得授權，非商業轉載請注明出處。
) D0 w' D; h/ W  n2 A5 L
8 O8 y! K0 `  [2 q$ X

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作者: 水水5    時間: 2025-7-29 19:23

方法二，這里提到了SVD算法

; A* N, u. N0 f1 \; O7 o4 B( b

通過實際的坐標點例子，來直觀解釋通過SVD求對應的坐標系關系。

已知四個點在坐標系A中的坐標為：

（0， 0， 0）; （1，0，0）; （1，1，0）; （0，1，0）

可得矩陣A為

4 I% L/ J: h8 Z6 n7 ~! B3 @矩陣A

這四個點在坐標系B中的坐標為：

（2，2， 2）; （3，2，2）; （3，3，2）; （2，3，2）

可得矩陣B為

6 C0 _& Z0 G! X( y
矩陣B步驟一：求兩個數據集的質心

根據上述公式，可得質心為

步驟二：將兩個數據集的質心移動至同一個點，即只存在于一個旋轉的轉換關系。

對應坐標系中的點同時減去質心，計算后的矩陣A和B分別為

計算后的矩陣A
; q6 k- f8 u! X+ r+ ?
5 \9 i# I0 S! x( g# ?) s4 P計算后的矩陣B

備注：此處的矩陣A和矩陣B一樣，因為舉得例子較為特殊，只存在平移關系。計算過程通用。

步驟三：通過SVD算法計算旋轉和平移關系。

定義一個3X3的矩陣，將矩陣A的每一行數據與矩陣B進行點乘，會產生四組3X3的矩陣，將這四組數據求和，得到最終的3X3的矩陣，就是我們需要用SVD算法來進行奇異值分解的矩陣H。

上述公式中，顏色相同的框內數據進行點乘，構成3X3的矩陣a1,a2,a3,a4。

矩陣H = a1 + a2 + a3 + a4。計算結果如下

通過SVD算法分解該矩陣，這里直接通過MATLAB接口調用，具體原理在前面的章節中已描述。

步驟四：計算旋轉和平移關系

根據上述求出的u1和v1，可求得旋轉矩陣R為將該旋轉矩陣轉為歐拉角則Rx = 0, Ry = 0, Rz = 0。

根據公式

得平移矩陣為

總結：如果在實際項目中，需要獲取多臺設備間的關系，如機器人相對于產品間的關系，或者機床相對于產品的關系，則該方法較為實用。注意：在實際的選擇參考點時，不要在一條線上選點。如上述選的四個點，要求不能共線。要不然會減少有效數據。

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作者: DaedraMech    時間: 2025-7-29 20:37


沒想到水水大俠對此問題如此孜孜以求，鉆研精神和信息獲取能力令小弟佩服，我比較功利，方法能解決問題就行。
2 g" |5 E, w3 j+ U/ O1 t) V
我把之前回復中的齊次變換矩陣改一下符號，樓主可以對比下和文章中的表達方式是不是一回事：
1 A& F5 H4 q) o# C[attach]577263[/attach]
[attach]577264[/attach]
  ?* K9 E) z, u6 |$ @# }平移、旋轉、縮放這類坐標變換我們統稱為線性變換。平移和縮放非常簡單，沒什么好說的，重點就是如何求得旋轉矩陣R，上述兩種方法就是通過純代數的方法求解R。
( h. C& J* }+ l, m3 L你用什么方法和選擇的工具有關，上述兩種方法多用在圖像處理和機器學習中，算法工程師手里的工具是集成編程環境，是代碼，采用代數方法自然是比較直接的。但要知道矩陣可是聯系代數和幾何的橋梁啊，而我們則掌握了強大的幾何工具SW，利用【旋轉矩陣可以表示坐標系】這一幾何意義我們可以直接得到R，完全不需要上面繁瑣的運算。

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作者: 水水5    時間: 3 天前

DaedraMech 發表于 2025-7-29 20:37
沒想到水水大俠對此問題如此孜孜以求，鉆研精神和信息獲取能力令小弟佩服，我比較功利，方法能解決問題就行 ...

感謝大俠的持續教誨。大俠如果有，從變換矩陣導出歐拉角，的計算公式，恭請再給明示下。

經過又一個周末的摸索和學習，我已經學到了旋轉矩陣的測量方法，并且通過計算一個點的坐標在兩個坐標系中的坐標值進行了驗證。

$ u' i1 G' o1 _9 b這是第一步，下一步是求歐拉角。
# }1 [" j9 `5 f4 \# C! `
: d7 U& C! K9 p5 {我最終的目的是：
“在機器人示教工具坐標系的時候，不需要再繁瑣的用6點法搞一個小時示教，而是我作為機械工程師，可以直接從三維中計算出，通過計算，直接可以提供XYZABC的數值”
/ G0 L9 ]& i" C, X/ w9 Z
但是這里面有個難題，我不知道機器人工具坐標系參數他是采用的哪種形式的歐拉角
下圖是我的作業
8 _$ r3 s' e0 ]" o[attach]577369[/attach]
9 b) F* a) P1 h+ R# |6 b' E. g: z

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